Проектная деятельность

МБОУ «Сабаевская средняя общеобразовательная школа»

Проект

«Геометрия Гулливера »

                                       Выполнила: ученица 9  класса МБОУ

                                                    «Сабаевская СОШ»  Солдаткина Регина                                            

Руководитель: Пархоменко Галина Александровна

   Цель:

• сравнить реальный мир с миром  лилипутов с точки зрения математики, проанализировать художественно смоделированные Свифтом реальности.
• показать связь математики с литературой.

Задачи

1. Прочитать книгу Джонатана Свифта «Путешествие Гулливера».

2. Выбрать математические задачи.

3. Провести исследование решения задач, предложенных автором книги.

4.  Сделать вывод о правильности решения задач.

План:

                Введение                                                                                  3

1. Краткие сведения о  биографии Джонатана Свифта      4
2. Дюйм против  фута                                                            4
3. Точный расчет                                                                    5
4. Смышленые белошвейки                                                   9
5. Дрерр, Глюмглефф и  Блестрег                                         9
6. Подобные миры                                                                  10                         
7. Шаг исполина                                                                     11
8. Кольцо королевы                                                                12
9. Практическое применение признаков подобия.              13

Заключение                                                                               14

Литература                                                                                15

Введение

        Я люблю читать и уже много прочитала  книг. Ещё я люблю решать разные математические задачи. В рассказах, сказках, повестях я встречала задачи, которые решают герои произведений. Мне стало интересно,  все ли задачи решены правильно, может быть,  писатели просто так  записывают данные и выдают ответы.  Мне очень нравится книга Джонатана Свифта "Путешествия Гулливера". В этом произведении несколько частей. Я прочитала: "Гулливер в стране лилипутов" и "Гулливер в стране великанов". Я очень внимательно прочитала первую и вторую часть «Путешествий» ещё раз. Математических задач в рассказе много, их можно встретить почти на каждой странице.

     В знаменитом романе «Путешествия Гулливера» ирландского писателя-сатирика, поэта и общественного деятеля Джонатана Свифта его герой Лемюэль Гулливер совершает четыре увлекательных путешествия. Отплывая каждый раз из вполне конкретного, реально существующего на карте портового города, он неожиданно попадает в диковинные страны. Сначала — в Лилипутию, где живут очень маленькие люди, и он предстаёт перед ними как человек-гора. Потом оказывается в государстве Бробдингнег, населённом людьми-великанами, и превращается там в лилипута. В третьем путешествии Гулливера занесло на летающий остров Лапуту, а в четвёртом — в страну гуингнмов, где миром правят лошади. Гулливер считает, сравнивает размеры предметов из нашей жизни и из жизни людей страны Лилипутии. Я задумалась и решила проверить: Какие размеры предметов в Лилипутии? Верно ли проведены вычисления, рассуждения и сделаны выводы.  Задумалась  над тем, что геометрия, а именно идея подобия, играет в романе очень важную роль, во всяком случае, в двух первых путешествияхГулливера.

Основная часть

1.Краткие сведения из биографии Джонатана С

ДжонатанСвифт родился в ирландском городе Дублин в небогатой протестантской семье. Отец, мелкий судейский чиновник, умер, когда сын ещё не родился, оставив семью (жену, дочь и сына) в бедственном положении. Поэтому воспитанием мальчика занимался дядя Годвин, с матерью Джонатан почти не встречался. После школы он  поступил в Тринити-колледж Дублинского университета (1682), который закончил в 686 году. В результате обучения Свифт получил  степень бакалавра  и пожизненное скептическое  отношение к научным премудростям.

Джонатан Свифт был человеком необыкновенной судьбы и характера,

 особого склада ума, со своим  единственным «свифтовским» юмором.

 Он был по образованию богослов, занимал значительный пост декана

 самого крупного в тогдашней Ирландии собора святого Патрика,

 имея громадное влияние и авторитет, был связан со знаменитыми

 политическими деятелями своего времени.

2.Дюйм  против  фута.                                                                              :                                                                                                

В стране лилипутов футу соответствовал дюйм.  1фут=12 дюймов. То есть все люди, все вещи, все объекты природы в 12 раз меньше нормальных.    1фут = 30,48 см = см           1 дюйм = 2,3 см = см                             1фут=12 дюймов.                                                                                                     По мнению Гулливера, все расчеты необходимо проводить в отношении 1:12.

3.Точный расчет

 Задача1:   «Математики его величества определи мой рост и найдя, что я в 12 раз выше лилипута, вычислили, что объём моего тела равен объёму 1728 тел  лилипутов».                                                                                                   Гулливер верит, что задача решена правильно. Это действительно так. Ведь лилипут меньше ростом в 12 раз, следовательно, объем его тела  меньше в    раз.

    «Было прикомандировано 300 портных с наказом: сшить полную пару платья по местным образцам». Спешность потребовала большего количества портных.

Поверхность тела Гулливера больше в  раза. Во столько же больше ему нужно материала на костюм, чем лилипуту. Все это учтено.

     «Средний рост лилипутов немного выше 6 дюймов. Этому росту соответствует величина всех животных и растений: так, например, лошади и быки там не выше 4 или 5 дюймов, а овцы полутора дюймов; гуси равняются нашему воробью. Мелкие же животные, птицы и насекомые были для нашего глаза почти не видимы».

 «Самые огромные деревья в Лилипутии не превышают 7 футов: я имею в виду деревья в большом королевском парке, верхушки которых я едва мог достать рукой. Вся остальная растительность имеет соответствующие размеры; но я представляю читателю произвести расчеты самому».

Решение: Читая описание роста лилипутов и животных в этой стране, можно определить размеры объектов природы по заданному соотношению и сравнить их с размерами настоящих животных, растений.

 см   это приблизительный рост лилипута.

  см  рост лошади.

см  рост быка.

 см рост овцы.

 см высота самых высоких деревьев.

 Округлим результаты до целых величин и вычислим возможные размеры в реальном мире.

см = 1м 44 см рост лошади.

см = 1м 8 см рост быка.

см рост овцы.

=25м 66 см высота самого высокого дерева.

Я составила сводную таблицу размеров некоторых животных и деревьев.

Название объекта

Размер в стране лилипутов, см

Расчетный размер, см

 Размер в реальном мире, см

Лошадь

144

128-198

Бык

108

104-132

Гусь

5

60

20-30

Овца

36

30-70

Дерево, самое высокое

2566

12800

Вывод: Выбранное отношение соответствует действительности, поэтому и эти расчеты Гулливер выполнил правильно. Единственное несоответствие размеров и существующей действительности, которое я заметила, это  то, что гусь у лилипутов, получился выше овцы.

Задача 2: Можно ли Гулливеру сшить матрац и мягкий ли он   получился?

        «Привезли 600 матрацев обыкновенной величины, и в моём доме началась работа. 150 штук были сшиты вместе, и таким образом получили один матрац, подходящий для меня в длину и ширину; 4 таких матраца положили один на другой; но твердый каменный пол, на котором я спал, не стал от этого намного мягче».

Решение:Средний размер матраца для человека шириной 150см  и длиной 190см. Если размеры матрацев у лилипутов в 12 раз меньше, то их размеры должны быть: 12 см ширина и 15 см длина.

150:12=см ширина      и          190:12=см длина.

Площадь такого матраца будет равна:

см² площадь одного матраца.

Так как матрацев требовалось 150 штук, то

см²  площадь одного матраца, сшитого лилипутами.

Площадь нашего матраца будет:см².

Так как 29687см² >28500см², то можно сшить матрац для Гулливера.

Средняя толщина нашего матраца 10 см, а у лилипутов получилось

коло 3 см.

10см=100мм.   100:12= мм.     мм 3 см.

Вывод: Действительно, даже на 4 таких матрацах, сшитых вместе, спать Гулливеру не стало мягче.

Задача 3: Можно было Гулливеру пройти в отведенное для ночевки здание?

«Выходившие на север двери этого здания имели около 4 футов в вышину и около 2 футов в ширину, так что я довольно легко мог в них пролезть. По обе стороны дверей на высоте всего 6 дюймов от земли было два окошка. … Цепь, к которой я был прикован, была длиной около 2 ярдов, и я имел возможность не только прохаживаться взад и вперед, описывая полукруг, но и заползать в храм и лежать в нем, вытянувшись во весь рост».

Решение : Высота:   см.

Округлим результат до целых  122см=1м22см.

Ширина была 2 фута, а значит в 2 раза меньше высоты. Следовательно, ширина двери:122:2=61см.

Конечно, такие двери для нас низкие и узкие, но в такое отверстие можно пролезть и нормальному человеку.

  Окна в этом здании  были на высоте 6 дюймов от земли.

                     см  

Вывод :Смотреть в такое окно Гулливер мог только лежа на земле.

Интересно, как смогли лилипуты построить здания таких размеров? Гулливер мог лежать в здании, вытянувшись во весь рост. Значит, длина здания была примерно 2 метра, а ширина не меньше 1метра 50 сантиметров. Видимо, лилипуты были, как пишут в книге, хорошими математиками,  механиками.

Задача4: Как выглядел главный город Лилипутии?

 « Город имеет форму правильного четырехугольника. Каждая сторона городской стены равна 500 футов. Две главные улицы, шириной 5 футов каждая, пересекаются под прямым углом и делят город на 4 квартала. В боковые улицы и переулки я не мог пробраться и видел их только сверху. Они имеют в ширину от 12 до 18 дюймов. Город может вместить до 500 тысяч жителей. Дома трех – и пятиэтажные…. Главное здание с двумя внутренними дворами стоит посередине обширной площади, обнесенной стеной в два фута вышины».

   Решение: Город имеет форму квадрата, разделенного основными улицами на 4 квартала, с  Императорским дворцом в самом центре.

Городская стена длиной:

Ширина главной улицы:                 

Ширина боковых улиц:   

Ширина ворот:             Высота ворот:  

Задача 5: Смог ли Гулливер посмотреть дворец императора, не повредив зданий?

    «Подойдя к дворцу со стороны площади, я стал на один табурет, поднял другой над крышей и осторожно поставил его на первый внутренний двор шириной в 8 футов. Затем я свободно перешагнул через здания с одного табурета на другой и поднял к себе первый длинной палкой с крючком. При помощи таких ухищрений я достиг второго внутреннего двора».

Решение:1фут = 30,48 см = см

Высота табурета была около 3 футов, примерно 90 см..

Задача6:Можно ли было изготовить табурет такой высоты из деревьев, растущих в стране?

Решение :Ответ очевиден. Можно. Ведь самые высокие деревья, из которых он делал табурет, росли в королевском парке и были высотой 7 футов.

см .     Табурет мог быть высотой 90 см.

Стена высотой 5 футов.   см

Вывод: Стену с помощью такого табурета перешагнуть можно, не повредив зданий.

4.Смышлёные белошвейки

 Задача 7:Как видим, лилипуты неплохо разбирались в геометрии и умело применяли её законы на практике. Достоин упоминания, например, оригинальный способ, с помощью которого белошвейки сняли с Гулливера мерки, чтобы сшить для него бельё.  «Они смерили большой палец [моей] правой руки и этим ограничились. Посредством математического расчёта, основанного на том, что окружность кисти вдвое больше длины пальца, окружность шеи вдвое больше окружности кисти, а окружность талии вдвое больше окружности шеи, и при помощи старой моей рубахи, которую я разостлал на земле перед ними как образец, они сшили мне бельё вполне по росту».

Решение: Описанный способ — ещё одно свидетельство смышлёности лилипутов и их познаний в области математики — вполне применим на практике. Указанное соотношение размеров перечисленных частей тела человека весьма близко к действительному, а длина большого пальца руки Гулливера справедливо была выбрана белошвейками в качестве единицы измерения. К тому же этот способ чрезвычайно прост, поскольку требует снятия всего одной мерки.

     В стране лилипутов английскому футу соответствует дюйм, а в стране великанов, наоборот, дюйму – фут, т.е. все вещи и люди в Лилипутии в 12 раз меньше, а в Бробдингниге – в 12 раз больше нормальных вещей.
 

5.Дрерр, Глюмглефф и  Блестрег

В систему мер, принятую в Лилипутии, входили как минимум три единицы длины. Самая мелкая из них — дрерр. О ней в разговоре с Гулливером упомянул главный секретарь по тайным делам государства:                                                                                                                                                                     «Вы, должно быть, заметили, что каблуки на башмаках его величества на один дрерр ниже, чем у всех придворных (дрерр равняется четырнадцатой части дюйма)».

О второй единице длины герой услышал от местных моряков. Перед тем как отправиться вплавь к берегам империи Блефуску, отделённой от Лилипутии проливом, Гулливер поинтересовался его глубиной. И вот что узнал:«…[моряки] сообщили мне, что при высокой воде глубина в средней части пролива равняется семидесяти глюмглеффам, что составляет около шести европейских футов».

Наконец, наиболее крупная единица длины встретилась герою в документе, содержавшем условия его освобождения. В бумаге отмечалось, что владения «могущественнейшего императора Лилипутии, отрады и ужаса вселенной» охватывают в окружности пять тысяч блестрегов, или около двенадцати миль.

Задача 8. Выразите дрерр, глюмглефф и блестрег в единицах метрической системы мер. Определите примерные размеры и площадь государства лилипутов, а также его столицы, которая, по словам Гулливера, в плане имела форму правильного четырёхугольника и была окружена стеной со стороной, равной пятистам футам.

 Решение:1 дрерр = 2,54: 14 ≈ 0,18 см = 1,8 мм, 1 глюмглефф= = 30,48×6: 70 ≈ 2,61 см, 1 блестрег = 1,609344 ×12: 5000 ≈ 0,00386 км = 3,86 м. (Напоминаем: 1 миля = = 1,609344 км.)

Из документа ясно, что территория Лилипутии была ограничена окружностью длиной 12 миль. Радиус этой окружности равен (12 × 1,609344): (2 × 3,14) ≈ 3,1км. Следовательно, площадь государства составляла 3,14 × 3,12 ≈ 30,2 км2. Что касается столицы, то в плане она имела форму квадрата со стороной 500 × 0,3048 = 152,4 м и занимала площадь 152,42 ≈ 23 230 м2 ≈ 0,023 км2.
6.Подобные миры .С точки зрения геометрии эти вымышленные миры подобны миру людей.

Задача 9.   «…в последнем пункте условий моего освобождения император постановляет выдавать мне еду и питье в количестве, достаточном для прокормления 1724 лилипутов…»
Оценит точность вычислений в каждом случае.

Решение: Отношение площадей подобных фигур равно квадрату подобия, отношение их объемов – кубу коэффициента подобия. Точные расчеты показывают, что на изготовление матраца для Гулливера должно пойти 12 ·12 · 4 = 576 лилипутских матрацев, а за обедом главный герой должен был бы съедать и выпивать в 12 · 12 · 12=1728 раз больше любого лилипута. А вот что писал сам Гулливер: «…я спросил у одного моего придворного друга, каким образом была установлена такая точная цифра. На это он ответил, что математики его величества,  определив  высоту моего роста при помощи квадранта и найдя, что эта высота находится в таком же отношении к росту лилипутов, как двенадцать к единице, пришли к заключению, что объем моего тела равен, по крайней мере, 1724 тел лилипутов, а, следовательно, оно требует во столько же раз больше пищи. Из чего читатель может составить понятие как о смышлености этого народа, так и мудрой расчетливости его императора».
Задача 10. Вспомним, как Гулливер определил размеры столицы страны великанов.
Читаем в «Путешествии в Бробдингнег»:
«Город расположен по обоим берегам пересекающей его реки. Он тянется в длину на три гонглюнга, (что составляет около пятидесяти четырех английских миль), а в ширину – на два с половиной глонглюнга. Я лично произвел эти измерения на карте, составленной по приказу короля и нарочно для меня разложенной на земле, где она занимала пространство в сто футов. Разувшись, я прошел несколько раз по диаметру окружности карты, сосчитал число шагов и без труда определил по масштабу протяжение города».
Как в данном случае используется идея подобия?
Решение. Карта — плоское, уменьшенное во много раз изображение города. Ее масштаб играет роль коэффициента подобия. Измерив (по карте) протяженность города в разных направлениях и увеличив ее в указанное в масштабе число раз, можно легко вычислить истинные размеры города.

7.Шаг исполина

    В сравнении с жителями Бробдингнега Гулливер выглядел лилипутом. Карлик королевы, ниже которого не было человека во всей стране, — и тот казался рядом с ним огромного роста.                                                                                                           

Задача11: Как вспоминал позже Гулливер, при первой встрече с исполинами его охватили смятение и ужас. Спасаясь бегством,  он укрылся в поле среди стеблей ячменя, но едва не погиб под ногами одного из великанов. Дадим слово самому герою:  «…один из жнецов подошёл на десять ярдов к борозде, в которой я лежал; испугавшись, что при следующем его шаге я буду растоптан или разрезан пополам серпом, я завопил, что есть мочи».

Решение :Но может, Гулливер преувеличил от страха угрожавшую ему опасность?

Решение: При ходьбе длина шага взрослого мужчины составляет в среднем 5—80 см, тогда у великана она должна быть в 12 раз больше, а именно 9—9,6 м, что вполне соответствует указанной Гулливером (10 ярдов = 9,144 м). Ещё шаг — и великан наступил бы прямо на него!

8.Кольцо королевы
В числе предметов, вывезенных Гулливером из страны великанов, было, говорит он, «золотое кольцо, которое королева сама мне подарила, милостиво сняв его с своего ми­зинца и накинув мне через голову на шею, как ожерелье».
Задача12 :Возможно ли, чтобы колечко с мизинца, хотя бы и великанши, годилось Гулливеру как ожерелье?

Я измерила  окружность своего мизинца и окружность головы. Вспомнила формулу длины окружности.

1. Как найти диаметр вашего мизинца? 
[С_н = πd_h; d_н = С_н : π]
2. Как найти диаметр мизинца великанши? 
[D_в = 12d_н]
3. Как найти длину окружности мизинца великанши? 
[С_в = πD_в]

Решение: 
С_н = 5 см; 
d_н = 5: 3,14 = 1,5 см — диаметр мизинца человека нормальных размеров;
D_в = 1,5∙12 = 18 см — диаметр кольца великанши;
С_в = 18∙3,14 = 56,5 см — длина окружности мизинца великанши.
Это достаточные размеры, чтобы можно было просунуть через него голову нормальной величины (в чем легко убедиться, измерив окружность головы в самом широком месте).
Задача 13: И сколько примерно должно было такое кольцо весить?
Найдем вес кольца. 
Решение: Кольцо, с которым я работала  весит 5 г. Кольцо такого же фасона в стране великанов должно весить :                   

              5∙1728 = 8640 г = 8,64 кг.
Вывод. Колечко с мизинца великанши годилось Гулливеру как ожерелье.

Задача14Известно, что номер воротничка рубашки есть не что иное, как число сантиметров в его окружности. Если окружность вашей шеи 38 см, то вам подойдет воротник номер 38; воротник номером меньше будет тесен, а номером больше — просторен. Окружность шеи взрослого человека в среднем 40 см. Если бы Гулливер пожелал в Лондоне заказать партию воротничков для обитателей страны великанов, то какой номер он должен был заказать?

Решение: 40∙12 = 480 см = 4,8 м. 
А житель Бробдинберга  носил бы воротничок номера :
30 см — длина окружности шеи Дениса;
30∙12 = 360 см = 3,6 м.

6.Практическое применениепризнаков подобия.

Задача 15. Тень, которую отбрасывает розовый куст в саду короля страны великанов на поверхность земли равна 20 м. Гулливер, рост которого равен 1,8 м отбрасывает тень в 2 м. Какова высота розового куста?

Решение. 

Задача 16. Здание высотой 15 м Гулливер закрыл монетой диаметром 2 см, держа её на расстоянии 70 см от глаза. На каком расстоянии от здания находился Гулливер?

Решение:

Заключение

Джонатан Свифт и вместе с ним Гулливер проводили расчеты в книге «Путешествие Гулливера в Лилипутию» правильно. Надобность производить такие вычисления в книге возникает очень часто, чуть ли не на каждой странице. Я думаю, что существование такого мира возможно.  Все размеры согласованы с правилами математики. Отношение 1:12 соблюдается.  Найдено одно не соответствие: гусь получился выше овцы.

    Но я была удивлена, когда читала книгу «Путешествие Гулливера в Великанию».Там яблоко упало на Гулливера с высоты пятиэтажного дома и не повредило его, хотя яблоко было в 12 раз больше нашего обычного яблока. По законам физики такого быть не может, т.к. масса яблока такого размера будет примерно 80 кг.  Значит,  и Джонатан Свифт допускал ошибки при решении задач.   

 Романы Джонатана Свифта об удивительных приключениях Гулливера буквально пронизаны идеей подобия. В книгах можно найти немало примеров использования геометрических знаний в самых разных ситуациях. Обзор данной литературы показал, что знания по математике нужны не только математикам, но и писателям.

Список использованной литературы и сайтов

1.ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B2%D0%B8%D1%84%D1%82_%D0%94.- биографические данные Джонатана Сфивта

2. www.detfond.org/main.php?page=classic/covers-обложка

3.www.labirint.ru/screenshot/goods/209162/3/-голова

4.bookvica.com.ua/shop.php?kat=12&page=2–обложка 1

5.www.xxlbook.ru/offerlab118755.aspx-Гулливер в городе

6 .www.labirint.ru/screenshot/goods/118755/14/— Гулливер в городе 1

 7.read.ru/id/74669/— Гулливер в городе 2

8.www.labirint.ru/screenshot/goods/209162/4/-лилипуты

9.www.cg-mania.ru/articles/more/1874— Гулливер у короля

10.www.labirint.ru/screenshot/goods/209162/1/— корабль

11.Я.И.Перельман « Занимательная геометрия», Москва  1950, стр 264-266

12.Роман «Путешествия Гулливера» ирландского писателя-сатирика, поэта Джонатана Свифта.

13.Журнал «Математика для школьника"